Pi Ist Irrational chords by Dorfuchs

Chords with lyrics

• Capo on 1st

Tuning: Standard (E MajorE A augmentedA D MajorD G+G BB E MajorE)

Difficulty: Intermediate

Chords:
B minorBm  x24432
D MajorD   xx0232
E minorEm  022000
F#F#  244322
Gmaj7Gmaj7 35443x
F#7F#7  242322

Chorus:
B minorBm                   Gmaj7Gmaj7
3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.
     D MajorD                          F#7F#7
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.
     B minorBm                           Gmaj7Gmaj7
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.
   D MajorD                          F#7F#7
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.

Verse 1:
B minorBm
 Nehmen wir mal das Gegenteil an:
     Gmaj7Gmaj7
Dass man Pi vielleicht ja doch als Bruch natürlicher Zahlen schreiben kann,
  E minorEm
wie a geteilt durch b und mal seh'n, wie's weiter geht:
       F#F#
Wie wär's mit Pi hoch n mal a hoch n durch n Fakultät?

Verse 2:
  B minorBm
Hm. Da wächst der Nenner durch die Fakultät
   D MajorD
sogar schneller als der Zähler und für große n geht es,
     E minorEm
dass der ganze Bruch dann kleiner wird als 1 durch Pi
    F#F#
und so wählen wir uns das n und jetzt definiert

Verse 3:
   B minorBm
man f(x) als x hoch n mal a minus bx hoch n
     D MajorD
durch die Fakultät von n und jetzt können wir erkennen:
     E minorEm
Zwischen 0 und Pi ist f und auch der Sinus jeweils positiv,
F#F#
 also ist auch das Produkt wieder positiv

Verse 4:
  B minorBm
und x ist kleiner als Pi, a-bx ist kleiner als a,
       D MajorD
der Sinus ist kleiner gleich 1 und dann steht auch noch n Fakultät da
    E minorEm
und das Ganze haben wir kleiner als 1 durch Pi konstruiert,
       F#F#
was sich als gut erweist, wenn man Sinus mal f integriert,

Verse 5:
      B minorBm
denn dieses Integral ist kleiner als das mit 1 durch Pi,
   D MajorD
aber das ist genau 1, wie man relativ leicht sieht
      E minorEm
und das Produkt ist größer 0 und damit auch das Integral,
   F#F#
aber was uns das jetzt bringt? Naja, schau'n wir mal...

Chorus:
B minorBm                   Gmaj7Gmaj7
3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.
     D MajorD                          F#7F#7
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.
     B minorBm                           Gmaj7Gmaj7
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.
   D MajorD                          F#7F#7
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.

Verse 6:
B minorBm
 Sieht man sich das f genau an,
        D MajorD
dann sieht man, dass man das hoch n hier ausmultiplizieren kann
    E minorEm
und das wird 'ne Summe, bei deren Summanden ich erkenn':
     F#F#
Das sind ganze Zahlen mal x mit Exponent bis zu n

Verse 7:
       B minorBm
und nehm ich das mal x hoch n, kann ich weiter erkenn':
    D MajorD
Die Exponenten laufen jetzt von n an bis zu 2n
      E minorEm
und da die Fakutät konstant ist und ich sonst alles addiere,
       F#F#
kann ich auf jeden Summanden einzeln seh'n, wenn ich diferenziere

Verse 8:
    B minorBm
und mit jeder Ableitung kommt der Exponent als Faktor davor
D MajorD
 und wird dann um 1 kleiner und jetzt stell' dir vor,
       E minorEm
was passiert, wenn man weniger als n-mal die Ableitung macht.
      F#F#
Dann steht überall noch das x und das hat uns gebracht,

Verse 9:
       B minorBm
dass wenn wir 0 einsetzen, dann hier 0 raus kommt
    D MajorD
und die Frage ist, was bei der n-ten Ableitung raus kommt,
      E minorEm
denn da verschwindet dann das x in dem allerersten Term,
      F#F#
doch durch n-maliges Ableiten kann man sich erklären,

Verse 10:
     B minorBm
dass hier insgesamt n Fakultät als Faktor steht,
    D MajorD
was man mit dem Nenner kürzt und, wenn ich 0 einsetze, steht
     E minorEm
hier eine ganze Zahl und macht man das Ganze mal
        F#F#
auch bis zur (2n)-ten Ableitung, dann wird ganz schnell klar:

Verse 11:
        B minorBm
das sind alles ganze Zahlen und leite ich dann noch weiter ab,
    D MajorD
ist es so, dass ich echt nur noch 0 hab
    E minorEm
und das Ganze geht genauso auch an der Stelle Pi,
   F#F#
denn f ist symmetrisch, was man relativ leicht sieht,

Verse 12:
      B minorBm
wenn man in f einfach Pi minus x einsetzt
       D MajorD
und bisschen umformt, denn dann sieht man nämlich jetzt:
    E minorEm
Das ist f(x) und daher die Symmetrie.
      F#F#
Vielleicht brauchen wir das noch, man weiß ja nie.

Verse 13:
B minorBm
Erstmal schau'n wir, was mit diesem Integral passiert,
      D MajorD
wenn man es direkt lösen will und partiell integriert.
       E minorEm
Man nimmt für eine der Funktionen eine Stammfunktion
  F#F#
und bildet das Produkt mit der anderen Funktion

Verse 14:
 B minorBm
minus das Integral von der Stammfunktion
D MajorD
mal die Ableitung der anderen Funktion.
E minorEm
Und setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein,
   F#F#
dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein

Verse 15:
       B minorBm
und nimmt für eine der Funktionen wieder 'ne Stammfunktion
  D MajorD
und bildet das Produkt mit der anderen Funktion
 E minorEm
minus das Integral von der Stammfunktion
    F#F#
mal die Ableitung der anderen Funktion.

Verse 16:
B minorBm
Und setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein,
   D MajorD
dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
    E minorEm
und so weiter. Wenn man das (2n+1)-mal macht,
       F#F#
dann hat man es durch die Ableitungen beim f soweit geschafft,

Verse 17:
       B minorBm
dass nur noch 0 da steht und dann fällt der Rest weg.
D MajorD
 Also hat man dann hier insgesamt entdeckt:
E minorEm
Dieses Integral ist immer eine ganze Zahl,
   F#F#
doch warte mal, wir hatten dieses Integral schon mal!

Verse 18:
  B minorBm
Im ersten Teil hatten wir doch eindeutig gezeigt:
D MajorD
Dieses Integral liegt zwischen 0 und 1,
   E minorEm
aber das kann ja nicht sein und da gibt's nur einen Schluss:
  F#F#
Die Annahme, Pi wäre rational ist einfach Stuss!

Verse 19:
       B minorBm
Das führt zu Widersprüchen, also ist das Gegenteil wahr.
    D MajorD
Pi ist irrational. Was zu beweisen war.
E MajorE        F#F#
 Ja, alles klar?

Chorus:
B minorBm                   Gmaj7Gmaj7
3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.
     D MajorD                          F#7F#7
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.
     B minorBm                           Gmaj7Gmaj7
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.
   D MajorD                          F#7F#7
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.